Асимптотическая поверхность
Асимптотическая поверхность — поверхность, обертывающая асимптотические плоскости к некоторой поверхности. Всякая поверхность имеет, вообще говоря, бесконечно. большое число бесконечно удаленных точек, а именно все точки пересечения ее с бесконечно удаленною плоскостью, совокупность которых составляет бесконечно-удаленную кривую, лежащую на данной поверхности. Всякой точке этой кривой соответствует одна А., так что поверхность имеет бесконечное число А., вещественных или мнимых. Так как в тоже время во всякой точке можно провести к поверхности касательную плоскость, то поверхность имеет и бесконечное число асимптотических плоскостей, вещественных или мнимых. Всякая такая плоскость заключает в себе бесконечное число А., а так как все эти А. пересекают поверхность в одной и той же бесконечно удаленной точке, то они между собой параллельны. А.-ческая поверхность очевидно линейчатая поверхность. Пусть уравнение данной поверхности есть F(x, у, z)=0 и пусть х — n/l = у — h/m = z — z/n есть уравнение одной из А. Расположим F по однородным функциям n-го, n-1-го и т.д. измерений: F=jn + jn-1 +...+ j1 + j0 Точки пересечения А. и поверхности суть корни уравнения F(x+lr, h+mr, z+nr)= 0. Назовем через D операцию тогда будет, если jn , jn-1 ... означают функции от l,m,n rnjn+ rn-1j1-n (Djn + jn-1) +(1/2)rn-2D2jn (Djn-1 +jn-2)+...=0
Простая A. получится, если два корня этого уравнения обратятся в бесконечность, т. е. если jn = 0 и Djn +jn-1 =0. Уравнения эти показывают, что все асимптоты параллельны производящей конической поверхности jn(х, у, z)=0 и что все А. параллельные одной из производящих этого конуса лежать в одной плоскости параллельной плоскости касательной в конусу с соответствующей производящей.
Уравнение u=Djn + jn-1=0 есть уравнение одной асимптотической плоскости. Для смежной асимптотической плоскости будет причем также и в силу равенства l2 + m2 + n2 =1 ldl + mdm + ndn =0 , откуда получается .
Это последнее уравнение вместе с u=0 изображает линии сечения двух смежных асимптотических плоскостей, то есть одну из производящих асимптотической поверхности. Исключая из этих двух уравнений и jn (l, m, n)=0 величины l, m, n, получим искомое уравнение асимптотической поверхности. Можно показать, что в общем случае порядок асимптотической поверхности для поверхности n-го порядка есть n (3n — 5). Поверхности 2-го порядка суть единственные, для которых асимптотические поверхности также 2-го порядка. В особенных точках поверхностей их асимптотические поверхности могут быть низшего порядка. В каждой касательной плоскости есть две инфлексиональные касательные; точно также в каждой асимптотической плоскости есть две инфлексиональные асимптоты, проходятся через три последовательные точки поверхности, а так как плоскость проведенная через инфлексиональную касательную пересекает поверхность по кривой, имеющей точку перегиба в точке касания этой касательной, то кривая пересечения поверхности и плоскости проходящей через инфлексиональную асимптоту имеет точку перегиба в бесконечности. Инфлексиональные асимптоты суть линии пересечения поверхности 1/2 D2 jn + Djn-1 = 0 и плоскости Djn + jn-1 = 0.
Если поверхность имеет двойную точку в бесконечности, то вместо конуса jn = 0 получится цилиндр второго порядка. Касательные в двойной точке, вообще говоря, пересекают поверхность в трех точках. Точно также есть шесть производящих асимптотического цилиндра, пересекающих поверхность в четырех точках. Кривая пересечения поверхности с плоскостью параллельной направлению производящих цилиндра имеет двойную точку в бесконечности. Эта двойная точка обращается в угловую точку, если плоскость проходить через производящую цилиндра.
